حل تمرین صفحه 40 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 40 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین برای تثبیت محل قرارگیری زوایا روی دایره‌ی مثلثاتی و درک جهت حرکت زاویه (مثبت/منفی) است. یادآوری می‌کنم که جهت مثبت، **پادساعتگرد** و جهت منفی، **ساعتگرد** است. | زاویه ($\theta$) | محدوده (درجه) | جهت حرکت | ربع قرارگیری | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $0^\circ$ تا $90^\circ$ | ربع اول (I) | پادساعتگرد | | | $90^\circ$ تا $180^\circ$ | ربع دوم (II) | پادساعتگرد | | | $180^\circ$ تا $270^\circ$ | ربع سوم (III) | پادساعتگرد | | | $270^\circ$ تا $360^\circ$ | ربع چهارم (IV) | پادساعتگرد | --- ### **تعیین ربع هر زاویه** **الف) $\mathbf{270^\circ}$** * **تحلیل:** این زاویه مرزی است و دقیقاً روی **محور $y$ منفی** قرار می‌گیرد. * **نتیجه:** زاویه‌ی مرزی، متعلق به هیچ ربعی نیست و روی محور است (محور $\mathbf{y'}$). **ب) $\mathbf{225^\circ}$** * **تحلیل:** $180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$. * **نتیجه:** ربع **سوم (III)**. **پ) $\mathbf{-135^\circ}$** * **تحلیل:** چون منفی است، $135$ درجه ساعتگرد حرکت می‌کنیم. * $-90^\circ$ (تا محور $y$ منفی) + $-45^\circ$ دیگر. * این حرکت ما را بین $-90^\circ$ و $-180^\circ$ قرار می‌دهد. * **نتیجه:** ربع **سوم (III)** (معادل $360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$). **ت) $\mathbf{185^\circ}$** * **تحلیل:** $180^\circ < 185^\circ < 270^\circ$. * **نتیجه:** ربع **سوم (III)**. | زاویه | ربع قرارگیری | | :---: | :---: | | $270^\circ$ | روی محور $y$ منفی | | $225^\circ$ | ربع سوم (III) | | $-135^\circ$ | ربع سوم (III) | | $185^\circ$ | ربع سوم (III) |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۲ این تمرین با استفاده از **رابطه‌ی اساسی مثلثات** ($$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$) و توجه به **علامت‌های هر ربع**، قابل حل است. --- ### **الف) $\mathbf{\cos \alpha = \frac{3}{7}}$ (ربع چهارم)** **گام ۱: پیدا کردن $\sin \alpha$** $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{3}{7} \right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{49 - 9}{49} = \frac{40}{49}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{40}{49}} = \pm \frac{\sqrt{40}}{7} = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}$$ **تعیین علامت:** چون $\alpha$ در **ربع چهارم** است، $\sin \alpha$ باید **منفی** باشد (زیرا $y < 0$): $$\sin \alpha = \mathbf{-\frac{2\sqrt{10}}{7}}$$ **گام ۲: پیدا کردن $\tan \alpha$ و $\cot \alpha$** $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{2\sqrt{10}}{7}}{\frac{3}{7}} = \mathbf{-\frac{2\sqrt{10}}{3}}$$ $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \mathbf{-\frac{3}{2\sqrt{10}}} \quad \text{یا} \quad -\frac{3\sqrt{10}}{20}$$ --- ### **ب) $\mathbf{\sin \beta = -\frac{1}{2}}$ (ربع سوم)** **گام ۱: پیدا کردن $\cos \beta$** $$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $$\cos \beta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **تعیین علامت:** چون $\beta$ در **ربع سوم** است، $\cos \beta$ باید **منفی** باشد (زیرا $x < 0$): $$\cos \beta = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ **گام ۲: پیدا کردن $\tan \beta$ و $\cot \beta$** $$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$ $$\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} = \mathbf{\sqrt{3}}$$ **نکته:** چون $\sin \beta = -\frac{1}{2}$ و $\cos \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$، این زاویه $\beta$ همان زاویه‌ی **$210^\circ$** است (زاویه مرجع $30^\circ$ در ربع سوم).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۳ این مسئله با استفاده از رابطه‌ی بین تانژانت و سینوس، یعنی $\mathbf{\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$، قابل حل است. ### **تحلیل شرط هم‌علامت بودن** فرض کنیم $\tan \theta$ و $\sin \theta$ هم‌علامت باشند. دو حالت وجود دارد: **حالت ۱: هر دو مثبت باشند ($$\tan \theta > 0$$ و $$\sin \theta > 0$$)** * **$\sin \theta > 0$** (سینوس مثبت): زاویه در ربع‌های **اول (I)** یا **دوم (II)** است. * **$\tan \theta > 0$** (تانژانت مثبت): زاویه در ربع‌های **اول (I)** یا **سوم (III)** است. * **اشتراک:** تنها ربعی که هر دو شرط در آن صدق می‌کند، **ربع اول (I)** است. **حالت ۲: هر دو منفی باشند ($$\tan \theta < 0$$ و $$\sin \theta < 0$$)** * **$\sin \theta < 0$** (سینوس منفی): زاویه در ربع‌های **سوم (III)** یا **چهارم (IV)** است. * **$\tan \theta < 0$** (تانژانت منفی): زاویه در ربع‌های **دوم (II)** یا **چهارم (IV)** است. * **اشتراک:** تنها ربعی که هر دو شرط در آن صدق می‌کند، **ربع چهارم (IV)** است. **نتیجه‌گیری نهایی:** $ heta$ می‌تواند در **ربع اول (I)** یا **ربع چهارم (IV)** قرار داشته باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۴ این تمرین در مورد تعیین ربع زاویه بر اساس علامت‌های سینوس (مختصات $y$) و کسینوس (مختصات $x$) است. ### **الف) $\mathbf{\sin \theta > 0 \text{ و } \cos \theta > 0}$** * **شرط $\sin \theta > 0$:** مختصات $y$ مثبت است (بالای محور $x$). این شامل ربع‌های **اول (I)** و **دوم (II)** است. * **شرط $\cos \theta > 0$:** مختصات $x$ مثبت است (راست محور $y$). این شامل ربع‌های **اول (I)** و **چهارم (IV)** است. **اشتراک:** تنها ربعی که هر دو شرط در آن صدق می‌کند، **ربع اول (I)** است. $$\text{حدود } \theta: \mathbf{0^\circ < \theta < 90^\circ}$$ --- ### **ب) $\mathbf{\sin \theta < 0 \text{ و } \cos \theta > 0}$** * **شرط $\sin \theta < 0$:** مختصات $y$ منفی است (زیر محور $x$). این شامل ربع‌های **سوم (III)** و **چهارم (IV)** است. * **شرط $\cos \theta > 0$:** مختصات $x$ مثبت است (راست محور $y$). این شامل ربع‌های **اول (I)** و **چهارم (IV)** است. **اشتراک:** تنها ربعی که هر دو شرط در آن صدق می‌کند، **ربع چهارم (IV)** است. $$\text{حدود } \theta: \mathbf{270^\circ < \theta < 360^\circ}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۵ **تحلیل شرط:** شرط $\sin \alpha \times \cos \alpha < 0$ به این معنی است که حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس **منفی** است. این تنها زمانی اتفاق می‌افتد که **علامت سینوس و کسینوس مخالف یکدیگر** باشند. ### **بررسی ربع‌ها** **۱. حالت $\sin \alpha > 0$ و $\cos \alpha < 0$ (سینوس مثبت، کسینوس منفی):** * $\sin \alpha > 0$: ربع‌های **I** و **II** * $\cos \alpha < 0$: ربع‌های **II** و **III** * **اشتراک:** ربع **دوم (II)** **۲. حالت $\sin \alpha < 0$ و $\cos \alpha > 0$ (سینوس منفی، کسینوس مثبت):** * $\sin \alpha < 0$: ربع‌های **III** و **IV** * $\cos \alpha > 0$: ربع‌های **I** و **IV** * **اشتراک:** ربع **چهارم (IV)** **نتیجه‌گیری نهایی:** چون حاصل‌ضرب دو نسبت مثلثاتی منفی است، زاویه‌ی $\alpha$ باید در ربعی قرار بگیرد که مختصات $x$ و $y$ آن **مخالف‌العلامه** باشند. این دو ناحیه عبارتند از: $$\alpha \text{ می‌تواند در ربع } \mathbf{\text{دوم (II)}} \text{ یا ربع } \mathbf{\text{چهارم (IV)}} \text{ قرار بگیرد.}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۷ (فرض شده) با توجه به دستورالعمل، فرض می‌کنیم مسئله‌ای که باید در مورد آن بحث شود، مربوط به تعیین ربع یک زاویه با داشتن دو نسبت مثلثاتی آن است. ساده‌ترین حالت ممکن این است که $\sin \theta$ و $\cos \theta$ داده شده باشند. **فرض مسئله:** دو نسبت $\sin \theta = \frac{1}{2}$ و $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ داده شده است. $\theta$ در کدام ربع مثلثاتی قرار دارد؟ ### **تحلیل و بحث** 1. **علامت $\sin \theta$:** $\sin \theta = \frac{1}{2}$ (مثبت). سینوس مثبت یعنی مختصات $y$ مثبت است. پس $\theta$ در ربع **اول (I)** یا **دوم (II)** قرار دارد. 2. **علامت $\cos \theta$:** $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (مثبت). کسینوس مثبت یعنی مختصات $x$ مثبت است. پس $\theta$ در ربع **اول (I)** یا **چهارم (IV)** قرار دارد. **نتیجه‌گیری:** تنها ربعی که در هر دو شرط صدق می‌کند، **ربع اول (I)** است. $$\text{پس } \theta \text{ در ربع } \mathbf{\text{اول (I)}} \text{ قرار دارد.}$$ **نکته اضافه:** از آنجایی که $\sin \theta = \frac{1}{2}$ و $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$، مقدار دقیق $\theta$ برابر با $\mathbf{30^\circ}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۸ این مسئله از رابطه‌ی **شیب خط ($m$) و تانژانت زاویه ($\alpha$)** استفاده می‌کند و پس از آن، از فرمول معادله‌ی خط با شیب و یک نقطه استفاده می‌شود. ### **گام ۱: پیدا کردن شیب خط ($m$)** زاویه‌ی خط با محور $x$ها: $\alpha = 45^\circ$. $$\text{شیب } m = \tan \alpha = \tan 45^\circ$$ $$\text{از جدول زوایای خاص:} \quad m = \mathbf{1}$$ ### **گام ۲: نوشتن معادله خط** از فرمول **$y - y_1 = m(x - x_1)$** استفاده می‌کنیم: * **شیب:** $m = 1$ * **نقطه:** $(x_1, y_1) = (0, 2)$ $$y - 2 = 1 (x - 0)$$ $$y - 2 = x$$ **گام ۳: فرم استاندارد** $$y = x + 2$$ **نکته:** چون نقطه‌ی $(0, 2)$ روی خط قرار دارد و این نقطه روی محور $y$ است، عدد $2$ همان **عرض از مبدأ** است. در فرم استاندارد $y=mx+b$ داریم: $y = 1x + 2$. **پاسخ نهایی:** معادله‌ی خط مورد نظر $\mathbf{y = x + 2}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 41 ریاضی دهم - مسئله ۹ این مسئله نیز به رابطه بین شیب و تانژانت مربوط می‌شود. باید زاویه‌ی شیب خط را به درستی محاسبه کنیم و از عرض از مبدأ داده‌شده استفاده کنیم. ### **گام ۱: پیدا کردن زاویه‌ی شیب ($\alpha$)** زاویه‌ی $\mathbf{\alpha}$، زاویه‌ای است که خط $\ell$ با **جهت مثبت محور $x$ها** می‌سازد. * زاویه‌ی داده‌شده $120^\circ$، زاویه‌ی بین خط $\ell$ و **محور افقی موازی** است (زاویه بین امتداد خط $\ell$ و جهت منفی محور $x$ نیست، بلکه زاویه‌ی مکمل است). * با توجه به شکل، زاویه‌ی $\alpha$ و زاویه‌ی $120^\circ$ مکمل یکدیگر هستند (مجموع زوایای روی یک خط مستقیم $180^\circ$ است). $$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = \mathbf{60^\circ}$$ ### **گام ۲: پیدا کردن شیب خط ($m$)** $$\text{شیب } m = \tan \alpha = \tan 60^\circ$$ $$\text{از جدول زوایای خاص:} \quad m = \mathbf{\sqrt{3}}$$ ### **گام ۳: نوشتن معادله خط** * **شیب:** $m = \sqrt{3}$ * **عرض از مبدأ ($b$):** نقطه برخورد خط با محور $y$، یعنی $-3$ است. $\mathbf{b = -3}$ از فرم استاندارد معادله خط **$y = mx + b$** استفاده می‌کنیم: $$y = \sqrt{3}x + (-3)$$ $$y = \sqrt{3}x - 3$$ **پاسخ نهایی:** معادله‌ی خط $\ell$ به صورت $\mathbf{y = \sqrt{3}x - 3}$ است.